Элейская школа. Зенон Элейский

Движение невозможно. В частности, невозможно пересечь комнату, так как для этого нужно сначала пересечь половину комнаты, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося...

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл , еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

Вот еще одна апория, словами Зенона:

Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.

Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).

Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.

Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел ; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени . Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

Но мое любимое опровержение парадокса Зенона связано не с дифференциальным исчислением Ньютона, а с цитатой из скетча «Второго города», комедийного театра в моем родном Чикаго. В этом скетче лектор описывает различные философские проблемы. Дойдя до парадокса об Ахилле и черепахе, он произносит следующее.

Проблема – как, в конечном счете, устроены геометрические объекты, из чего они «состоят» – была важной проблемой для греческой философии. Эта проблема привлекла внимание и Зенона – представителя Элейской философской школы. Элейская школа выступала с парадоксальным учением, что существует только единое и неподвижное и неизменное бытие, повсюду одинаковое: хотя людям кажется, что бытие множественно и подвержено переменам, это мнение ведет к противоречиям и поэтому должно быть отброшено.

Наиболее известными и важными для математики стали сформулированные Зеноном четыре апории (т. е. парадокса), направленных против существования движения. По-видимому, первые две апории Зенона подразумевали, что пространство и время делимы до бесконечности, а другие две основывались на противоположном представлении, будто пространственная протяженность и временная длительность состоят из неделимых моментов. Зенон пытался показать, что каждое из двух противоположных воззрений в результате ведет к противоречию, а значит, должна быть отвергнута сама идея движения, которое представляет собой лишь иллюзию.

Деление пополам

Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно сначала должно дойти до середины пути, потом до середины оставшегося пути, потом опять до середины остатка и т. д. – таким образом, прежде чем дойти до конца пути, тело должно пройти бесконечное множество середин, а это потребует бесконечного времени.

Ахиллес и черепаха

Быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать медлительной черепахи, если в начале движения она находится на некотором расстоянии впереди Ахиллеса: пока Ахиллес достигнет черты, с которой стартовала черепаха, она сама проползет на некоторое расстояние, пусть и меньшее; пока Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха продвинется еще дальше, и т. д.

В каждый момент времени летящая стрела занимает равное самой себе пространство. Следовательно, она в течение некоторого времени покоится. Таким образом, она и вовсе не движется.

По стадиону мимо группы равных тел А 1 , А 2 , А 3 , А 4 движутся в противоположные стороны с одинаковыми скоростями еще две такие же группы – В 1 , В 2 , В 3 , В 4 и Г 1 , Г 2 , Г 3 , Г 4 . Раз они движутся с равной скоростью, то в равное время пройдут равное расстояние. Если за некоторое время первое из тел В пройдет мимо всех Г, то за это же время первое из тел Г пройдет мимо половины тел А, а значит, оно пройдет лишь половину того расстояния, который прошло тело В, а значит – так как В и Г движутся с равными скоростями – оно прошло и половину того времени, за которое тело В прошло все тела Г. С другой стороны, за одно и то же время первое из тел Г пройдет мимо всех В, а первое из В пройдет лишь половину тел А, и значит, в два раза меньшее расстояние, затратив в два раза меньшее время, чем тело Г, прошедшее все тела В. Получается, что одно и то же время и вдвое длиннее, и вдвое короче, чем оно же само.

Хотя большинство философов не могли принять странные выводы Зенона о несуществовании движения, поставленные Зеноном проблемы заставили более пристально вглядываться в понятия, связанные с пространством и временем. Так, Аристотель полагал, что пространство и время не состоят из некоторого числа отдельных точек и моментов, но представляют собой особый тип сущего – нечто непрерывное, или, как еще говорят, континуум (лат. continuum – непрерывное). Пространственные и временные отрезки в действительности делимы до бесконечности, но делимы лишь потенциально, в том смысле, что любой отрезок можно разделить некоторой точкой, то, что осталось, тоже можно разделить, и т. д., но невозможно в какой-то момент реализовать бесконечное количество делений, – точно так же, как всякий раз возможно продлить имеющийся отрезок на некоторую величину, но нельзя считать бесконечное число таких продлений уже реализованным. Невозможно иметь в наличии бесконечную прямую, и нельзя сказать, что на отрезке уже находится бесконечное количество точек. Вот если бы в первой апории идущий человек каждый раз, проходя середину очередного отрезка, останавливался бы, отмечая эту середину, – тогда его движение не было бы непрерывным и он никогда бы не смог пройти весь отрезок. Решение Аристотеля было принято многими математиками: с подобными соображениями связано и разграничение Евклида между прерывными числами, с одной стороны, и непрерывными величинами, с другой стороны (см. урок 6). Тем не менее, на этом рассмотрение бесконечности в математике не закончилось: так, уже в XIX в. Г. Кантор развил теорию множеств, позволявшую рассматривать отрезок как бесконечное множество точек. Такое рассмотрение позволило открыть новые ценные результаты, а также поставить новые интересные проблемы, связанные, в частности, с некоторыми противоречиями, содержащимися в теории бесконечных множеств.

Кроме того, апории Зенона связаны и с рядом других вопросов, касающихся математики (суммирование бесконечного числа слагаемых, относительность движения, соотношение математической теории и физической реальности и т. д.).

Интересно, а Вы что думаете об этих апориях?

Зенон - ученик Парменида, который защищал его аргументы.
Небытие не может существовать, т.к. это пространство, отделенное от вещества, это пустота. Все существующее находится в пространстве, следовательно, чтобы существовать, небытие должно находиться вне пространства. Или пространство должно находиться где-нибудь (во втором пространстве, 2-е в третьем и т.д.). Но это невозможно, т.к. пространство неотделимо от вещества.
Считал, что всякое движение противоречиво, а, следовательно, - неистинно. Зенон создал целый ряд апорий (затруднительных положений), направленных против признания истинности движения.
-Аргумент «Дихотомия». Доказывает, что движение невозможно, действуя от противного. Предполагается, что движение возможно. Чтобы пройти из точки А в точку В нужно пройти половину этой дистанции, чтобы пройти эту половину, нужно пройти половину половины и так до бесконечности. В результате тело не может пройти из точки А в точку В, потому что между ними всегда будет какое-то расстояние.
-Аргумент «Летящая стрела». Путь движения стрелы состоит из суммы точек покоя. В каждой точке движения стрела находится в состоянии покоя. Из ряда состояний покоя движение возникнуть не может. Стрела летит, т.е. движется в пространстве. Но, в момент полета, она занимает пространство, равное своей длине, т.е. пребывает в пределах этого пространства - значит она в нем неподвижна.
-Аргумент «Ахилл и черепаха». Ахиллес, находясь в начале движения позади черепахи, должен вновь и вновь проходить то расстояние, которое ранее уже прошла черепаха: за то время, пока Ахиллес преодолеет отделяющее его от черепахи расстояние, черепаха проползет половину этого расстояния; преодолеет Ахиллес половину, а черепаха отползет еще на одну четверть и т.д. до бесконечности. Расстояние между ними должно равняться нулю, но это невозможно.
Пространство по Зенону существует, оно состоит из множества отрезков и не может быть пустым.

4.Апории Зенона.

Зенон Элейский (ок 490 до н.э. - около 430 до н.э.) - древнегреческий философ, ученик Парменида. Родился в Элле. Знаменит своими апориями , доказывающими невозможность движения, пространства и множества.

Упоминается о 40 апориях Зенона, но до нас дошли всего лишь 9.

Ахиллес и Черепаха.
Дихотомия.
Стрела.
Стадион

Все они описываются у Аристотеля.

Апории ‘’Дихотомия’’ и ‘’Стрела’’ напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые ведущему представителю древнекитайской ‘’Школы имен’’ (Мин Узя) Гунсунь Луну : ‘’В стремительном полете [стрелы] есть момент отсутствия и движения и остановки’’. ‘’Если от палки [длинной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не совершиться и через 10000 поколений’’.

Внутренние противоречия понятия о движения ярко выявляются в апории “Ахиллес’’.

Ахиллес не может догнать черепаху.

Всякий раз, при всей скорости своего бега и при всей малости разделяющего их пространства, как только он ступит на место, которое перед ним занимала черепаха, она несколько продвинется вперед. Как бы не уменьшалось пространство между ними, оно ведь бесконечно в своей делимости на промежутки, и их надобно все пройти, а для этого нужно бесконечное время.

Аналогичное, говориться и в апории стрела, где Зенон говорит о стреле следующее.

В каждом промежутке времени и положения в пространстве она неподвижна и это делает ее недвижимой. Стрела постоянно находится в определенных и вытекает, что положения стрелы не различны - она покоится. Апории Зенона “Ахиллес’’ и ‘’Стрела’’ обнажают глубокую загадку того, как у неподвижности, видимого отсутствия измерений (стрела покоится в каждый момент) рождается движение.

Задачу отстоять воззрения Парменида против выдвинутых возражений взял на себя ученик и друг Парменида Зенон. Он родился в начале Vв. до н.э. (480) и умер в 430 г. От его сочинений дошли только многочисленные и небольшие по объёму извлечения, сделанные позднейшими античными писателями. Из них на первое место должны быть поставлены свидетельства Аристотеля в “Физике”, а также свидетельства Симплиция, комментатора аристотелевской “Физики”. Они дают возможность характеризовать то новое, что внёс Зенон в греческую науку сравнительно с Парменидом, при всей наивности его аргументации в деталях.

Зенон развил ряд аргументов в защиту учения Парменида. Метод, применённый им в этих аргументах, впоследствии дал основание Аристотелю называть Зенона родоначальником “диалектики”. Под “диалектикой” Аристотель в этом случае понимает искусство выяснения истины путём обнаружения внутренних противоречй, заключающихся в мыслях противника, и путём устранения этих противоречий.

Метод Зенона сходен с тем, который называется в математике <доказательством от противного>. Зенон принимает - условно - тезисы противников Парменида. Он принимает, (1) что пространство может быть мыслимо как пустота, как отдельное от наполняющего пространство вещества; (2) что мыслимо существование множества вещей; (3) что может быть мыслимо движение. Приняв условно эти три предположения, Зенон доказывает, будто признание их ведет с необходимостью к противоречиям. Тем самым доказывается, что предположения эти ложны. Но если они ложны, то необходимо должны быть истинны противоречащие им утверждения. А это и есть утверждения Парменида. Стало быть, утверждения Парменида истинны: пустота, множество и движение немыслимы. Ни Парменид, ни Зенон не отрицают реальности пустоты, множества, движения для наших чувств. Они отрицают лишь возможность мыслить пустоту, мыслить множество и мыслить движение, не впадая при этом в противоречия.

Рассмотрим аргументы Зенона в отдельности по этим трем вопросам. Начнем с вопроса о мыслимости пустоты, т. е. пространства, отделенного от вещества. Если мы допустим существование такого пространства, то вступает в силу следующее рассуждение. Все существующее находится где-нибудь в пространстве. Но чтобы существовать, пространство тоже должно находиться <где-нибудь>, т. е. существовать во втором пространстве. Это второе пространство в свою очередь должно существовать в третьем пространстве, и так до бесконечности. Но это абсурдно. Следовательно, пространство как отдельное от вещества немыслимо.

Второй вопрос-о мыслимости множества. Допустим, что множество мыслимо. Тогда возникают вопросы: 1. Каким необходимо мыслить каждый в отдельности элемент этого множества?

2. Каким необходимо мыслить общее количество элементов множества: будет ли их сумма числом конечным или бесконечным?

Исследование Зенона показывает, что по обоим этим вопросам получаются противоречивые ответы. По первому вопросу - каким должен мыслиться каждый отдельный элемент множества - оказывается, что о каждом таком элементе необходимо придется отвечать, что он одновременно и не имеет никакой величины и бесконечно велик по величине. По второму вопросу - какой должна мыслиться сумма элементов множества - оказывается, что она должна мыслиться и как число конечное, и как число бесконечное.

Исследование по третьему вопросу - о мыслимости движения, так же необходимо приводит к противоречащим утверждениям.

Аргументы Зенона по этому вопросу приобрели широкую известность. Зенон разработал несколько таких аргументов, из которых до нас дошли четыре: <Дихотомия (деление на два)>, <Ахилл>, <Летящая стрела> и <Стадий>

Общая их схема -то же опровержение <от противного>. Допустим, вместе с противниками Парменида будто движение мыслимо. Тогда о движущемся теле или о движущихся телах необходимо придется высказывать противоречащие друг другу утверждения:

1) что движение возможно и 2) что оно невозможно. При помощи четырех аргументов Зенон доказывает, что движение невозможно.

Оно невозможно, во-первых, как движение одного-единственного тела, переходящего по прямой из одной ее точки в другую. Чтобы пройти некоторую дистанцию, отделяющую точку А от точки B, тело должно предварительно пройти половину этой дистанции; чтобы пройти половину, оно должно предварительно пройти половину этой половины, и т.д. до бесконечности. В результате этого тело не только не может пройти из точки А в точку B, но не может даже покинуть точку А, т. е. движение от точки А к точке B не может не только завершиться, однажды начавшись, но даже не может начаться. Таков смысл аргумента <Дихотомия>.

Немыслимость движения одного, отдельно взятого тела доказывается также посредством аргумента <Летящая стрела>. По предположению, стрела летит, т. е. движется в пространстве. Но о ней в то же время необходимо утверждать, что она в каждое мгновение полета занимает пространство, равное собственной длине, т. е. пребывает в пределах этой части пространства, <значит> в нем неподвижна. Выходит, стало быть, что летящая стрела и движется, и не движется.

Но движение немыслимо и как движение двух тел друг относительно друга. Оно немыслимо, во-первых, как движение по прямой двух тел, разделенных некоторой дистанцией и одновременно движущихся в одном и том же направлении, причем тело, движущееся позади, движется быстрее того, что движется впереди. Зенон доказывает, что при этих условиях тело, движущееся с большей скоростью, никогда не догонит того, что уходит от него с меньшей скоростью. Ахилл, славившийся быстротой своего бега, никогда не догонит убегающей от него черепахи. Пусть Ахилл бежит быстрее черепахи, но по истечении любого промежутка времени, как бы мал он ни был, черепаха успеет пройти расстояние, которое, как бы незначительно оно ни было, никогда не будет равно нулю. Следовательно, рассуждает Зенон, ни в один момент бега вся дистанция, отделяющая Ахилла от черепахи, не превратится в нуль, и потому Ахилл действительно никогда не догонит черепаху. Тот же результат получается, если применить к случаю Ахилла аргумент <Дихотомия>. В начальный момент бега Ахилла отделяет от черепахи расстояние AB. Ахилл догонит черепаху в тот момент, когда это расстояние, уменьшаясь, обратится в нуль. Но чтобы это произошло, расстояние AB должно предварительно уменьшиться до половины. В свою очередь, чтобы уменьшиться до половины, оно должно предварительно уменьшиться до половины этой половины, и т. д. до бесконечности. Итог тот же, что и в <Дихотомии>: дистанция AB никогда не обратится в нуль.

» и другие апории Зенона о движении, которые обсуждаются более двух тысячелетий, им посвящены сотни исследований. Платон в «Пармениде» их не упоминает, поэтому В. Я. Комарова предполагает, что парадоксы движения были написаны Зеноном позднее других .

Ошибочно воспринимать эти рассуждения как софизмы или полагать, что с появлением высшей математики все апории разрешены . Бертран Рассел писал, что апории Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства , времени и бесконечности , предлагавшихся с его времени до наших дней» . «Проблематика аргументов Зенона далеко выходит за пределы конкретной исторической ситуации, обусловившей их появление. Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература; особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств » . Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль непрерывного и дискретного (прерывного) в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. список литературы), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось .

Элейская философская школа (элеаты) существовала в период с конца VI века до н. э. до первой половины V века до н. э., родоначальником её считается Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учение о бытии. Парменид изложил свои философские взгляды в поэме, от которой до нас дошли отдельные фрагменты .

Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной ошибочно . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Мышление, говорилось в поэме Парменида, по своему содержанию тождественно предмету мышления («одно и то же - мышление и то, о чём мысль»). Далее Парменид логически выводит характеристики истинно сущего: оно «не возникло, не уничтожимо, целокупно [не имеет частей] , единственно, неподвижно и нескончаемо [во времени]».

Познание этого целостного мира возможно только путём разумных (логических) рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . С этих же позиций элеаты впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Как следствие, наблюдаемое движение из непрерывного становится скачкообразным. Александр Афродисийский , комментатор Аристотеля, так изложил взгляды сторонников Эпикура: «Утверждая, что и пространство, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении пространства, состоящего из неделимых частей, а на каждой из входящих в него неделимых частей движения нет, а есть только результат движения» . Подобный подход сразу обесценивает парадоксы Зенона, так как убирает оттуда все бесконечности.

Полемика вокруг зеноновских апорий продолжилась и в Новое время. До XVII века интерес к апориям не отмечается, и их аристотелевская оценка являлась общепринятой. Первое серьёзное исследование предпринял французский мыслитель Пьер Бейль , автор известного «Исторического и критического словаря» (). В статье о Зеноне Бейль подверг критике позицию Аристотеля и пришёл к выводу, что Зенон прав: понятия времени, протяжённости и движения связаны с трудностями, непреодолимыми для человеческого ума .

Сходные с апориями темы затронуты в антиномиях Канта . Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) . Гегель оценил Зенона как «отца диалектики» не только в античном, но и в гегелевском смысле слова диалектика . Он отметил, что Зенон различает чувственно воспринимаемое и мыслимое движение. Последнее, в соответствии со своей философией, Гегель описал как сочетание и конфликт противоположностей, как диалектику понятий . Гегель не даёт ответа на вопрос, насколько этот анализ приложим к реальному движению, ограничившись выводом: «Зенон осознал определения, содержащиеся в наших представлениях о пространстве и времени, и обнаружил заключающиеся в них противоречия»

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них :

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями - ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий . О проблеме адекватности реального движения и его математической модели см. следующий раздел данной статьи.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения . С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой : «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкие точки зрения можно найти у Анри Бергсона и у Николя Бурбаки . Согласно Анри Бергсону :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Бергсон полагал, что есть принципиальная разница между движением и пройденным расстоянием. Пройденное расстояние можно произвольно делить, между тем как движение произвольному делению не поддаётся. Каждый шаг Ахиллеса и каждый шаг черепахи должны рассматриваться как неделимые. Это же относится и к полёту стрелы:

Истина заключается в том, что если стрела выходит из точки А и попадает в точку В, то её движение АВ так же просто, так же неразложимо - поскольку это есть движение, - как напряжение пускающего её лука.

Бергсон А. Творческая эволюция. Глава четвёртая. Кинематографический механизм мышления и механистическая иллюзия. Взгляд на историю систем, реальное становление и ложный эволюционизм

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным , то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Ричард Фейнман заявил :

Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что [в квантовой механике] она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны.

Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы - в частности, в связи с проектами единой теории поля , - однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садэо Сирайси .

«Математический энциклопедический словарь » считает, что сущность апорий достаточно глубока, и рассматривает разные пути решения проблемы :

Можно оспаривать удобство или адекватность реальному движению общеупотребительной математической модели. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физики удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика , показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Вышеприведённые (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, то есть в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории «Стрела».

И поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце - первой половине V века до н. э. , родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев , элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

В двух апориях (Ахиллес и Дихотомия) предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы; Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, составленное из точек-моментов; в этом случае, как показал Зенон, возникают другие трудности . Отметим, что неправильно утверждать, будто Зенон считал движение несуществующим, потому что, согласно элейской философии, доказать несуществование чего бы то ни было невозможно: «несуществующее немыслимо и невыразимо» . Цель аргументации Зенона была более узкой: выявить противоречия в позиции оппонента.

Часто в число апорий движения включают «Стадион» (см. ниже), но по тематике этот парадокс скорее относятся к апориям бесконечности. Далее содержание апорий пересказывается с использованием современной терминологии.

Под влиянием возникших философских споров сформировались два взгляда на строение материи и пространства: первый утверждал их бесконечную делимость, а второй - существование неделимых частиц, «атомов ». Каждая из этих школ решала поставленные элеатами проблемы по-своему.

Ахиллес и черепаха

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Эпикур Самосский

Обсуждение в Новое время

и многие другие.

Современная трактовка

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем . Математической основой теории служит математический анализ , первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Даламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физика удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Другие апории Зенона

Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом: .

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории <Стрела>.

По другим интерпретациям, эта апория аналогична парадоксу Галилея : бесконечное множество может быть равномощно своей части.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Сходные вопросы обсуждаются в диалоге Платона «Парменид» , где Зенон и Парменид обстоятельно разъясняют свою позицию. На современном языке данное рассуждение Зенона означает , что множественное бытие не может быть актуально бесконечно и поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX -XX веков антиномии теории множеств , особенно парадокс Кантора : с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Более подробно эти же аргументы присутствуют в комментариях Филопона . Также аналогичные рассуждения Зенона цитирует и критикует Аристотель в своей «Метафизике» :

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

В изложении Аристотеля апория утверждает: если всё существующее помещается в известном пространстве (месте , греч. топос ), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность . Аристотель замечает на это, что место не есть вещь и не нуждается в собственном месте. Данная апория допускает расширенное толкование, поскольку элеаты не признавали пространство отдельно от тел, в нём расположенных, то есть отождествляли материю и пространство, ею занимаемое . Хотя Аристотель и отвергает рассуждение Зенона, но в своей «Физике» он приходит по существу к тому же выводу, что и элеаты: место существует лишь относительно тел, в нём находящихся. При этом Аристотель обходит молчанием естественный вопрос, как происходит изменение места при движении тела .

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча»: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

«Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории - это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного» . Чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности у Аристотеля - во многом результат осмысления зеноновских апорий. Другие исторические заслуги элейских парадоксов:

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ , теория множеств , новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» - это сторонник Зенона (комментатор Элиас, как сказано выше, приписывал аргументацию самому Зенону ), а его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (оба они жили существенно позднее Зенона, так что с ним самим спорить не могли). Одна из версий анекдота, упоминаемая Гегелем , сообщает, что когда элеат признал аргумент Диогена убедительным, Диоген побил его палкой за чрезмерное доверие к очевидности .

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

См. также

Примечания

, с. 90
, часть 14
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ
, с. 15-16
, с. 116-118
Ивин А. А. По законам логики . - М .: Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Большая советская энциклопедия // Апория .
, часть 16
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М .: Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия . - М .: Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0
, часть 15
, с. 50-52
, с. 18-20
, Яновская С. А.
, с. 21
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30
, с. 38
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35
, с. 35-41
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М .: Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition . The Review of Metaphysics (1996). Архивировано из первоисточника 28 августа 2011.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М ., 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд.. - М .: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6
, с. 93
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М .: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М .: Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul (1987). «Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument ». Philosophy of Science 54 : 295-302. Проверено 2010-02-27.
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп.. - М .: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М .: Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М .: Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 10 января 2011.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Архивировано
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 апреля 2010.
, с. 127
Zeno’s Paradoxes , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Зенон Элейский . - Энциклопедия Кругосвет. Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 декабря 2010.
Аристотель. Метафизика , книга I, глава IV.
Аристотель. Физика, IV, 1, 209а.
, с. 124-129
Ивин А. А. Логика. Учебное пособие, глава 7 .
, с. 122-124
, с. 27
, с. 89
ДВИЖЕНИЕ.
, с. 19
Кэрролл, Льюис. Двухчастная инвенция, или Что черепаха сказала Ахиллесу // Знание - сила . - 1991. - № 9. - С. 6-12.
Валери, Поль. Кладбище у моря.

Литература

Античные авторы

Античные философы о Зеноне . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 21 декабря 2010.
Аристотель. Физика . - В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Харьков: ЭКСМО, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6
Платон. Парменид . - В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах. - М .: Мысль, 1968-1972. - (Философское наследие).
Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики . - М .: Наука, 1989. - 576 с.

Книги современных авторов

Асмус В. Ф. История античной философии. - М .: Высшая школа, 1965. - С. 40-45.
Гайденко П. П. . - М .: Наука, 1980.
История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I. - С. 88-93.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов // Вестник ЛГУ . - Л. , 1988.
Кузнецов Б. Г. Эволюция картины мира. - 1-е изд. (2-е издание: УРСС, 2010). - М .: Издательство АН СССР, 1961. - 352 с. - (Из наследия мировой философской мысли: философия науки). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
Маковельский А. О. Досократики. В 3 томах . - Минск: Харвест, 1999. - 784 с. - (Классическая философская мысль). .
Смородинов Р. А. Философия последовательного сомнения. - Волгоград: Принт, 2006. - С. 41-68.
Grünbaum A. Modern science and Zeno"s Paradoxes. - Allen & Unwin, 1968. - 153 p. - ISBN 978-0045130047
Guénon R. Les Principes du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 и многочисленные переиздания. - «Принципы вычисления бесконечно малых»
Salmon W. C. (editor) Zeno’s paradoxes. - 2nd ed.. - Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 p. - ISBN 978-0872205604

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле // Журнал Министерства народного просвещения . - 1888. - № 4 отд. 5. - С. 203-239.
Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения // . - 1911. - № XXXIV (август) отд. 2. - С. 207-221.
Больцано Б. Парадоксы безконечнаго . - Одесса, 1911.
Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности // Журнал Министерства народного просвещения . - 1915, нов.сер.. - № LVI (апрель). - С. 289-328.
Дмитриев Г. Еще раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В.Фридмана // Под знаменем марксизма . - 1928. - № 4.
Богомолов С. А. Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор. - Л.-М., 1934.
Яновская С. А. Апории Зенона //